M. – Allora ? C’è qualcuno che ha risposto al questionario che vi ho consegnato la settimana scorsa ?
A. – Maestro, io ho provato a rispondere, ma non sono sicura delle risposte che ho scritto.
Ci avevi chiesto di rispondere con parole nostre, ma non è così semplice… A volte mi sembra di non riuscire ad esprimere quello che ho in mente…
M. – Sì, vi ho chiesto di rispondere liberamente perché troppo spesso ci si affida a delle definizioni scritte da altri, quelle che troviamo sui libri, senza comprenderne a fondo il significato.
Se invece ciascuno usasse le proprie parole, anche se con delle imprecisioni, di quegli argomenti direbbe soltanto ciò che ha effettivamente capito, che è ciò che conta davvero.
Poi, un po’ alla volta, le imprecisioni si possono correggere e, alla fine, troveremmo delle risposte soddisfacenti.
Avanti dunque : che cos’è secondo te un punto ?
A. – Un punto è un elemento di costruzione geometrica, in quanto è la base delle rette e di tutte le forme geometriche.
M. – Bene. Possiamo allora chiederci anche che cos’è una retta…
A. – Anche la retta è un elemento di costruzione geometrica, composto da infiniti punti. Le rette vengono usate, insieme ai piani, per la costruzione di ogni forma geometrica.
Un piano è a sua volta una superficie lineare…
M. – Una superficie lineare tu dici. Va bene. Fermiamoci un attimo qui.
In effetti punto, retta e piano sono difficili da definire. Anzi, si può dire che una vera e propria definizione per essi non ci sia.
Essi vengono normalmente detti “enti geometrici”e rappresentano i componenti base della geometria. Con essi (come dici tu) si costruiscono tutti gli studi sulle figure piane ed i solidi.
Essi non esistono nella realtà materiale (che è grossolana ed imprecisa) perché in effetti non hanno estensione (si dicono immateriali, cioè non fatti di materia fisica) e vivono però nel nostro pensiero sotto forma di idee.
Noi possiamo avere l’idea di che cosa siano un punto, una retta, un piano, pur non avendoli mai visti in realtà.
La nostra immaginazione è popolata di punti, di rette e piani, anche se a ciò non facciamo caso. E spesso ci riferiamo ad essi per i motivi più svariati.
Prendiamo ad esempio il punto.
Quando usiamo questa parola nella nostra vita di tutti i giorni?
A. – Be’, ad esempio quando usiamo l’espressione “punto e a capo”…
M. – Certamente, per dire che intendiamo cambiare argomento di discussione… E poi?
A. – A volte diciamo di vedere le cose dal nostro “punto di vista”, oppure che vogliamo fare il “punto della situazione”…
M. – Proprio così. E se diamo appuntamento ad un amico in una grande piazza, ad esempio in piazza del Duomo a Milano, che cosa ci risponderà lui per essere sicuro di incontrarci?
A. – Ci chiederà in quale punto della piazza ci troveremo.
M. – Esattamente.
Ora, anche se non possiamo ancora dire che cosa sia un punto, abbiamo però abbastanza chiaro, da quello che abbiamo detto, a che cosa un punto ci possa servire.
Esso indica in generale un riferimento, un segno riconoscibile a partire dal quale si chiarisce una situazione.
Più in particolare indica una posizione nello spazio, e lo fa con grandissima precisione, poiché, nel nostro pensiero, un certa posizione può essere indicata da un punto soltanto, senza alcun dubbio.
Un punto non può avere un’estensione, perché se ciò avvenisse esso potrebbe essere formato da due punti distinti e vicinissimi tra loro, che individuano qualcosa di piccolissimo, ma di impreciso.
Essi determinerebbero un riferimento impreciso perché ci si potrebbe riferire all’uno o all’altro dei due punti vicinissimi, quando invece noi vorremmo riferirci ad un solo punto, quello che abbiamo pensato.
Tale punto può dunque esistere non come oggetto fisico, ma come pensiero. Come l’idea che noi abbiamo di quel punto.
A. – Non è facile immaginare qualcosa che non ha estensione…
M. – Non lo è perché siamo abituati a pensare che soltanto ciò che è materiale esista veramente. Mentre invece gli stessi pensieri, pur essendo immateriali, esistono eccome!
Stesso tipo di ragionamento possiamo fare per la retta.
Essa non esiste in realtà (fisicamente), ma la immaginiamo formata da un insieme illimitato di punti immateriali tutti “allineati” tra loro.
Anche la retta è quindi immateriale (cioè non ha uno spessore) ma si estende in una “direzione”. Per questo motivo essa “individua” una direzione nello spazio, in un certo senso la indica.
Se io osservo un determinato punto nello spazio il mio sguardo corre lungo una retta. E non può esserci che una sola retta a collegare quel punto col centro del mio occhio.
Facciamo un altro esempio: quando lo spigolo di un edificio getta l’ombra del sole sul terreno si crea una linea di confine tra la luce e l’ombra. Ed è chiaro che tale confine esiste, pur non avendo alcuno spessore…
A. – È vero! Non ci avevo mai pensato…
M. – Il piano può essere a sua volta immaginato come una retta che si espande nelle due dimensioni: oltre che nella lunghezza anche nella profondità.
Anch’esso non può avere spessore essendo immateriale e composto da innumerevoli punti contigui, tutti legati insieme da una relazione precisa: la complanarità.
Si tratta di un insieme di punti appartenenti allo stesso (unico) piano per formare una ideale superficie perfetta, estesa illimitatamente nelle due dimensioni.
Facilmente paragoniamo un piano alla parete di una stanza, che effettivamente si avvicina per caratteristiche al piano geometrico pur non avendone la precisione assoluta.
Forse più utile ad immaginare idealmente un piano è l’effetto generato dalla rotazione delle pale di un elicottero, che col loro dinamismo creano la sensazione di “purezza” immateriale di qualcosa di chiaramente individuato nello spazio che è una caratteristica essenziale degli enti geometrici.
A. – Quindi un piano può contenere rette e punti…
M. – Contiene sia rette che punti. E due piani diversi possono avere in comune la stessa retta ed i punti che la compongono.
Se immaginiamo due piani differenti che si incontrano nello spazio, li vediamo intersecarsi lungo una retta.
Se ad esempio pieghiamo un foglio di carta, con una certa precisione, in due parti, la piega rappresenta la retta e le due parti di foglio sono i due piani.
In questo modo si vede chiaramente che la retta non esiste materialmente (essendo soltanto “rappresentata” da una piega), essa vive tuttavia nel nostro pensiero, descritta dalla realtà della piega, parlandoci della “legge” che governa il modo in cui i due piani si incontrano nello spazio.
A. – Ma se noi viviamo nello spazio, nel mondo a tre dimensioni, perché si studia la geometria piana? A che serve?
M. – La geometria piana serve proprio a farci capire meglio la geometria solida, che è la scrittura con cui si esprimono le leggi che governano le forme spaziali.
La geometria piana è un po’ la strada da percorrere per acquisire gli strumenti che servono a conoscere lo spazio. È studiando un poligono che si capisce come è fatto un poliedro. Senza conoscere i poligoni non si capirebbe la meraviglia che si esprime nei solidi “platonici”, le figure geometriche più pure che esistono nello spazio.
Nonostante questo è comunque importante capir bene cosa succede nelle due dimensioni. Noi camminiamo sulla terra, ed è sulla superficie piana che impariamo ad orientarci.
Mi pare che una domanda del questionario riguardasse gli angoli…
A. – Un angolo è l’incontro di due rette. Esistono tre tipi di angolo: l’angolo retto, che è precisamente a 90°, l’angolo acuto, che è a meno di 90° e l’angolo ottuso,che è a più di 90°.
M. – A dire il vero un angolo non può essere “l’incontro” di due rette, ma può essere determinato (può nascere) dall’incontro di due rette. Esso è una parte di un piano (è quindi una superficie) delimitata da due rette incidenti o da due semirette che hanno la stessa origine (che nascono cioè dallo stesso punto). Ricordiamoci che un angolo appartiene ad un piano, a cui appartengono anche le due rette (o semirette) che lo delimitano.
Va detto però che dell’angolo non interessa tanto la superficie, che si estende illimitatamente nel piano, ma qualcosaltro.
Che cosa si misura infatti di un angolo?
A. – Di un angolo si misura l’ampiezza.
M. – Giusto. Dell’angolo non misuriamo l’estensione superficiale (che è illimitata) ma l’ampiezza, cioè diamo un valore alla divergenza (la diversa direzione) che assumono le due semirette che servono a delimitarlo. La misura degli angoli ha a che fare con le direzioni, non con le estensioni.
La conoscenza degli angoli, delle loro proprietà, delle loro leggi sta da tempi antichissimi alla base dell’attività umana. Questo è molto evidente nel campo delle costruzioni, ma lo è altrettanto nel campo degli spostamenti: se devo viaggiare devo pur sapere che direzione prendere!
Vi è quindi un’utilità pratica della geometria che può esserle riconosciuta nella vita di tutti i giorni e che potrebbe da sola giustificare il fatto che essa venga oggi studiata anche nelle scuole non specializzate in materie scientifiche.
Ma forse c’è qualche altro motivo per cui si attribuisce, e si è attribuita soprattutto in passato, alla geometria una particolare importanza tra le altre discipline di studio, e su di essa possiamo interrogarci.
Proviamo a chiederci allora di che cosa stiamo parlando: di che si occupa la geometria?
Oppure, esprimendoci in termini ancora più generali: che cos’è la geometria?
A. – La geometria è la branca della matematica che si occupa delle figure piane e solide.
M. – Questa è una definizione corretta. Ma forse possiamo provare ad aggiungere qualcosa per darle un significato più ampio ed appropriato.
Geo–metria è un termine composto che viene dal greco e che significa più o meno “misurare la terra (il pianeta terra)”.
Ma misurare in che senso?
Non nel senso di calcolare lunghezze e superfici con dei numeri, o meglio, non solo quello, ma piuttosto confrontare tra loro le parti della natura per individuare corrispondenze e relazioni.
In antichità si usavano le braccia come unità di misura. Ancora oggi nei paesi anglosassoni si usano i pollici e i piedi. Questo significa cercare corrispondenze tra parti del creato, tra il corpo umano ed altre forme spaziali, viventi o non viventi, ma sempre “misurabili”.
La geometria, per come la conosciamo adesso, cerca la regolarità in ciò che ai nostri sensi appare irregolare. Cerca le leggi che governano la formazione delle forme fisiche. Le idee pure che hanno portato alla nascita di tutte le figure e tutti i corpi terrestri e celesti che possiamo conoscere coi nostri sensi.
Anche se molti oggi negano tutto questo, noi ci troviamo di fronte al fatto che tutto ciò che esiste, per esistere, deve essere stato prima pensato, considerato giusto e quindi fatto.
E la geometria è servita, indubbiamente, alla creazione di tutto quello che conosciamo, e per questo può e deve essere considerata una scienza sacra, nel senso più proprio di questo termine.
Oggi essa ancora ci viene incontro, con la sua precisione e con la sua purezza, aiutandoci a risalire ed a conoscere quel pensiero generatore e carico di creatività amorosa che ha dato, e continua a dare, una forma al mondo.
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